リュカ≒フィボナッチ≒ピタゴラス 謎を秘める数
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タイトルで触れているフィボナッチ数列をご存知の方は多いと思いますが，それぞれ１つの項だけについてはフィボナッチ数と呼びます．
そしてフィボナッチ数にはその数自身よりも小さくて異なる２つのフィボナッチ数を，平方した数の和または差で表せるという面白い性質があります．
1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，...
1²，1²，1²+1²，2²-1²，1²+2²，3²-1²，2²+3²，5²-2²，3²+5²，8²-3²，5²+8²，13²-5²，8²+13²，...
ここからの作業が重要なんですが，フィボナッチ数の平方数をそれぞれフィボナッチ数にして新たな数列を作ります．そうすると興味深い性質が浮かび上がってくるんです．
1，1，1+1，2-1，1+2，3-1，2+3，5-2，3+5，8-3，5+8，13-5，8+13，...
1，1，2，1，3，2，5，3，8，5，13，8，21，...
この数列の第２項から偶数の項だけを取り出すと，フィボナッチ数列になっています．
そして第１項から奇数の項についても，第１項を除くフィボナッチ数列となります．この作業をもう１回繰り返してみます．
1²，1²，1²+1²，1²，2²-1²，1²+1²，1²+2²，2²-1，3²-1²，1²+2²，2²+3²，3²-1²，5²-2²，...
1，1，2，1，1，2，3，1，2，3，5，2，3，...
この数列も１つおきの項を取り出すと，１つ前の数列にさかのぼります．もう１回この作業を繰り返します．
1²，1²，1²+1²，1²，1²，1²+1²，2²-1²，1²，1²+1²，2²-1²，1²+2²，1²+1²，2²-1²，...
1，1，2，1，1，2，1，1，2，1，3，2，1，...https://www.youtube.com/watch?v=jjOm_wRI-zM
そしてフィボナッチ数にはその数自身よりも小さくて異なる２つのフィボナッチ数を，平方した数の和または差で表せるという面白い性質があります．
1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，...
1²，1²，1²+1²，2²-1²，1²+2²，3²-1²，2²+3²，5²-2²，3²+5²，8²-3²，5²+8²，13²-5²，8²+13²，...
ここからの作業が重要なんですが，フィボナッチ数の平方数をそれぞれフィボナッチ数にして新たな数列を作ります．そうすると興味深い性質が浮かび上がってくるんです．
1，1，1+1，2-1，1+2，3-1，2+3，5-2，3+5，8-3，5+8，13-5，8+13，...
1，1，2，1，3，2，5，3，8，5，13，8，21，...
この数列の第２項から偶数の項だけを取り出すと，フィボナッチ数列になっています．
そして第１項から奇数の項についても，第１項を除くフィボナッチ数列となります．この作業をもう１回繰り返してみます．
1²，1²，1²+1²，1²，2²-1²，1²+1²，1²+2²，2²-1，3²-1²，1²+2²，2²+3²，3²-1²，5²-2²，...
1，1，2，1，1，2，3，1，2，3，5，2，3，...
この数列も１つおきの項を取り出すと，１つ前の数列にさかのぼります．もう１回この作業を繰り返します．
1²，1²，1²+1²，1²，1²，1²+1²，2²-1²，1²，1²+1²，2²-1²，1²+2²，1²+1²，2²-1²，...
1，1，2，1，1，2，1，1，2，1，3，2，1，...https://www.youtube.com/watch?v=jjOm_wRI-zM
実際には５回の作業を第67項まで繰り返すことを試みて確認済みです．ここでは過程を省いて結果として生まれる数列のみを発表します．
ついでに７桁までのフィボナッチ数を平方した数も列挙しましょう．
1,1,2,1,3,2,5,3,8,5,13,8,21,13,34,21,55,34,89,55,144,89,233,144,377,233,610,377,987,610,15
97,987,2584,1597,4181,2584,6765,4181,10946,6765,17711,10946,28657,17711,46368,28657,75025,
46368,121393,75025,196418,121393,317811,196418,514229,317811,832040,514229,1346269,832040,
2178309,1346269,3524578,2178309,5702887,3524578,9227465,...
1,1,2,1,1,2,3,1,2,3,5,2,3,5,8,3,5,8,13,5,8,13,21,8,13,21,34,13,21,34,55,21,34,55,89,34,55,
89,144,55,89,144,233,89,144,233,377,144,233,377,610,233,377,610,987,377,610,987,1597,610,9
87,1597,2584,987,1597,2584,4181,...
1,1,2,1,1,2,1,1,2,1,3,2,1,3,2,1,3,2,5,3,2,5,3,2,5,3,8,5,3,8,5,3,8,5,13,8,5,13,8,5,13,8,21,
13,8,21,13,8,21,13,34,21,13,34,21,13,34,21,55,34,21,55,34,21,55,34,89,...
1,1,2,1,1,2,1,1,2,1,1,2,1,1,2,1,1,2,3,1,2,3,1,2,3,1,2,3,1,2,3,1,2,3,5,2,3,5,2,3,5,2,3,5,2,
3,5,2,3,5,8,3,5,8,3,5,8,3,5,8,3,5,8,3,5,8,13,...
1,1,2,1,1,2,1,1,2,1,1,2,1,1,2,1,1,2,1,1,2,1,1,2,1,1,2,1,1,2,1,1,2,1,3,2,1,3,2,1,3,2,1,3,2,
1,3,2,1,3,2,1,3,2,1,3,2,1,3,2,1,3,2,1,3,2,5,...
1²=1²=1 2²=4 3²=9 5²=25 8²=64 13²=169 21²=441 34²=1156 55²=3025 89²=7921
144²=20736 233²=54289 377²=142129 610²=372100 987²=974169 1597²=2550409 2584²=6677056 4181²=17480761 6765²=45765225
10946²=119814916 17711²=313679521 28657²=821223649 46368²=2149991424 75025²=5628750625
121393²=14736260449 196418²=38580030724 317811²=101003831721 514229²=264431464441 832040²=692290561600
1346269²=1812440220361 2178309²=4745030099481 3524578²=12422650078084 5702887²=32522920134769 9227465²=85146110326225
ついでに７桁までのフィボナッチ数を平方した数も列挙しましょう．
1,1,2,1,3,2,5,3,8,5,13,8,21,13,34,21,55,34,89,55,144,89,233,144,377,233,610,377,987,610,15
97,987,2584,1597,4181,2584,6765,4181,10946,6765,17711,10946,28657,17711,46368,28657,75025,
46368,121393,75025,196418,121393,317811,196418,514229,317811,832040,514229,1346269,832040,
2178309,1346269,3524578,2178309,5702887,3524578,9227465,...
1,1,2,1,1,2,3,1,2,3,5,2,3,5,8,3,5,8,13,5,8,13,21,8,13,21,34,13,21,34,55,21,34,55,89,34,55,
89,144,55,89,144,233,89,144,233,377,144,233,377,610,233,377,610,987,377,610,987,1597,610,9
87,1597,2584,987,1597,2584,4181,...
1,1,2,1,1,2,1,1,2,1,3,2,1,3,2,1,3,2,5,3,2,5,3,2,5,3,8,5,3,8,5,3,8,5,13,8,5,13,8,5,13,8,21,
13,8,21,13,8,21,13,34,21,13,34,21,13,34,21,55,34,21,55,34,21,55,34,89,...
1,1,2,1,1,2,1,1,2,1,1,2,1,1,2,1,1,2,3,1,2,3,1,2,3,1,2,3,1,2,3,1,2,3,5,2,3,5,2,3,5,2,3,5,2,
3,5,2,3,5,8,3,5,8,3,5,8,3,5,8,3,5,8,3,5,8,13,...
1,1,2,1,1,2,1,1,2,1,1,2,1,1,2,1,1,2,1,1,2,1,1,2,1,1,2,1,1,2,1,1,2,1,3,2,1,3,2,1,3,2,1,3,2,
1,3,2,1,3,2,1,3,2,1,3,2,1,3,2,1,3,2,1,3,2,5,...
1²=1²=1 2²=4 3²=9 5²=25 8²=64 13²=169 21²=441 34²=1156 55²=3025 89²=7921
144²=20736 233²=54289 377²=142129 610²=372100 987²=974169 1597²=2550409 2584²=6677056 4181²=17480761 6765²=45765225
10946²=119814916 17711²=313679521 28657²=821223649 46368²=2149991424 75025²=5628750625
121393²=14736260449 196418²=38580030724 317811²=101003831721 514229²=264431464441 832040²=692290561600
1346269²=1812440220361 2178309²=4745030099481 3524578²=12422650078084 5702887²=32522920134769 9227465²=85146110326225
ご覧のとおり，２回め以降の数列については隣りあう３項がセットで一定の周期を持つと考えられます．
それから２回めの数列は，第４項から第７項まで，第８項から第11項までと４項ごとに区切ると，フィボナッチ数列の一部分であると言えそうです．
実はまったく逆の作業を繰り返すことも可能です．その場合はフィボナッチ数列だけでなく，リュカ数列についても１回かぎりで新たな数列を作ることができます．
1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610，987，1597，...
2，1，3，4，7，11，18，29，47，76，123，199，322，521，843，1364，2207，...
それぞれの数列を，２つのフィボナッチ数と２つのリュカ数で表される式にするわけですが，和で表す場合と差で表す場合の２通りあるので，１つの数列につき新たに２つの数列が生みだされることになります．
1,1,2,5,13,34,89,233,610,1597,4181,10946,28657,75025,196418,514229,1346269,...
4,1,5,10,25,65,170,445,1165,3050,7985,20905,54730,143285,375125,982090,2571145,...
1,3,8,21,55,144,377,987,2584,6765,17711,46368,121393,317811,832040,2178309,5702887,...
4,5,15,40,105,275,720,1885,4935,12920,33825,88555,231840,606965,1589055,4160200,10891545,.
..
2²=4 1²=1 3²=9 4²=16 7²=49 11²=121 18²=324 29²=841 47²=2209 76²=5776 123²=15129 199²=39601 322²=103684 521²=271441 843²=710649
1364²=1860496 2207²=4870849 3571²=12752041 5778²=33385284 9349²=87403801
15127²=228826129 24476²=599074576 39603²=1568397609 64079²=4106118241
これらの数列のうち，フィボナッチ数列から作られる数列は，平方の和による数列がもとの数列の奇数項，平方の差による数列が偶数項のみが並んでいることが推察されます．
それからリュカ数列から作られる数列には，平方の和では第３項以降，平方の差では第２項以降にフィボナッチ数を５倍した数が交互に現れるという性質がありそうです．
それから２回めの数列は，第４項から第７項まで，第８項から第11項までと４項ごとに区切ると，フィボナッチ数列の一部分であると言えそうです．
実はまったく逆の作業を繰り返すことも可能です．その場合はフィボナッチ数列だけでなく，リュカ数列についても１回かぎりで新たな数列を作ることができます．
1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610，987，1597，...
2，1，3，4，7，11，18，29，47，76，123，199，322，521，843，1364，2207，...
それぞれの数列を，２つのフィボナッチ数と２つのリュカ数で表される式にするわけですが，和で表す場合と差で表す場合の２通りあるので，１つの数列につき新たに２つの数列が生みだされることになります．
1,1,2,5,13,34,89,233,610,1597,4181,10946,28657,75025,196418,514229,1346269,...
4,1,5,10,25,65,170,445,1165,3050,7985,20905,54730,143285,375125,982090,2571145,...
1,3,8,21,55,144,377,987,2584,6765,17711,46368,121393,317811,832040,2178309,5702887,...
4,5,15,40,105,275,720,1885,4935,12920,33825,88555,231840,606965,1589055,4160200,10891545,.
..
2²=4 1²=1 3²=9 4²=16 7²=49 11²=121 18²=324 29²=841 47²=2209 76²=5776 123²=15129 199²=39601 322²=103684 521²=271441 843²=710649
1364²=1860496 2207²=4870849 3571²=12752041 5778²=33385284 9349²=87403801
15127²=228826129 24476²=599074576 39603²=1568397609 64079²=4106118241
これらの数列のうち，フィボナッチ数列から作られる数列は，平方の和による数列がもとの数列の奇数項，平方の差による数列が偶数項のみが並んでいることが推察されます．
それからリュカ数列から作られる数列には，平方の和では第３項以降，平方の差では第２項以降にフィボナッチ数を５倍した数が交互に現れるという性質がありそうです．
＠Ｙ．Ｔ．
森野「真面目にそんなこと考えてるの？ だって私達ガチレズなのよ？ふふふ」
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